Масштабы, проекции, координаты

Земля не идеальный шар. Как всякое вращающееся тело, она немного сплюснута у полюсов, а, кроме того, имеет пологие впадины и выпуклости, связанные с неравномерным распределением масс в теле планеты. Неправильную фигуру Земли называют геоидом (от грен, geo — Земля и eidos — вид). Его очень сложно описать математическими формулами.

Хорошее геометрическое приближение к форме Земли дает эллипсоид — тело, моделирующее сжатие планеты у полюсов. Для математически строгого построения карт совершенно необходимо точно знать размеры, или, как говорят картографы, параметры эллипсоида, вернее, референц-эллипсонда, т. е. эллипсоида относимости. Геодезисты давно решают эту непростую задачу: сначала нужно измерить дугу меридиана на поверхности Земли, затем путем сложных расчетов вычислить размеры планеты и, наконец, определить сжатие и длины осей эллипсоида. Это дорогостоящие и технически сложные работы.

Требуются точные геодезические приборы и скрупулезный учет всех возможных погрешностей измерений.

В настоящее время для определения параметров земного эллипсоида используют спутниковые наблюдения. Они, конечно, намного точнее геодезических измерений на местности. Большая полуось Всемирного эллипсоида (Международная геодезическая система WGS-84) имеет длину 6 378 137 м и сжатие I: 298,3. Обратим внимание, как близко совпадают эти значения с параметрами эллипсоида Ф. Н. Красовского. В мире существуют около полутора десятков эллипсоидов, что создает определенные сложности. Координаты пунктов, полученные по топографическим картам разных стран, могут различаться на десятки метров. Было бы, конечно, хорошо принять единую международную систему, но тогда всем странам придется переделывать свои карты, подгоняя их под международный стандарт, а это довольно дорого. Приходится мириться с этим, так же как с существованием в разных странах своих национальных валют, разных мер длины и веса. Правда, на мелкомасштабных географических картах, которыми обычно пользуются, различия эллипсоидов практически не сказываются. Для таких карт даже вполне допустимо вместо эллипсоида взять шар, погрешности не будут заметны. Радиус земного шара, заменяющего эллипсоид Ф. Н. Красовского, равен 6 371,1 км.

Масштаб карты — степень уменьшения объектов на карте относительно их размеров на земной поверхности (точнее, на поверхности эллипсоида). Строго говоря, масштаб постоянен только на планах небольших участков местности, но на картах из-за особенностей проекций он меняется от точки к точке. Поэтому различают главный и частный масштабы. Главный масштаб показывает, во сколько раз карта уменьшена относительно эллипсоида (или шара); масштаб подписывается на карте, но справедлив он лишь для отдельных линий и точек, где искажения отсутствуют. Частный масштаб отражает соотношения размеров объектов на карте и земной поверхности в любой данной точке. Он может быть больше или меньше главного. В общем случае, чем мельче масштаб карты и чем обширнее территория, тем больше различия между главным и частным масштабами.

Русские карты в XIX в. составлялись в неметрических масштабах, на них использовались старые русские меры длины — верста (1,0668 км), сажень (2,143 м), дюйм (2,54 см). Многие старые карты сохранились до наших дней, они — ценный научный документ, точно отражающий состояние окружающей среды более ста лет назад. При сопоставлении старых карт с современными приходится иметь дело с неметрическими масштабами.

Переход от земной поверхности к плоскости карты идет как бы в два этапа: сначала неровную поверхность Земли проектируют на шар (или на эллипсоид), а затем разворачивают в плоскость. Общее уравнение картографических проекций связывает географические координаты точки на шаре (широту В и долготу L) с координатами X и Y на карте:

X=f1(B,L);Y=f2(B, L).

Отсюда следует, что картографическая проекция — это математически точное отображение поверхности эллипсоида или шара (глобуса) на плоскость карты. Общее уравнение элементарно, а вот конкретные реализации функций f1 и f2 часто выражены довольно сложными уравнениями, и число их бесконечно. Следовательно, разнообразие картографических проекций практически неограниченно.

Во всех картографических проекциях присутствуют искажения. Иногда они очень заметны. Например, очертания материков становятся непривычно вытянутыми или сплющенными. Другие части изображения могут, будто раздуваться. Есть карты, на которых Гренландия выглядит больше, чем Южная Америка, хотя в действительности она меньше ее в восемь с лишним раз, а Антарктида иногда вообще занимает весь юг карты.

На картах встречаются четыре вида искажений — искажения длины, площади, углов (направлений) и форм. Соответственно выделяются равновеликие, равноугольные и произвольные проекции. При переходе от эллипсоида или шара к карте в качестве вспомогательных поверхностей берут плоскости, цилиндры, конусы и некоторые другие геометрические фигуры. Соответственно получают разные классы проекций.

Цилиндрические проекции получают тогда, когда шар (эллипсоид) проектируют на цилиндр, после чего его боковую поверхность разворачивают в плоскость. Если ось цилиндра совпадает с осью вращения Земли, то образуется нормальная (прямая) цилиндрическая проекция. Меридианы в ней — параллельные прямые, а параллели — тоже прямые, перпендикулярные к ним. В таких проекциях меньше всего искажений в тропических и приэкваториальных областях. Если же ось цилиндра расположена в плоскости экватора, то это поперечная цилиндрическая проекция. Цилиндр касается шара по меридиану, и, следовательно, в такой проекции наиболее выгодно изображать территории, вытянутые с севера на юг. В тех случаях, когда ось цилиндра расположена под углом к плоскости экватора, проекция называется косой цилиндрической. Она удобна для вытянутых территорий, ориентированных на северо-запад или северо-восток.

Конические проекции. Поверхность шара (эллипсоида) проектируется на конус, а затем он разворачивается в плоскость. Как и в предыдущем случае, коническая проекция бывает нормальной (прямой), если ось конуса совпадает с осью вращения Земли. Тогда на карте прямые линии меридианов расходятся из точки полюса, а параллели выглядят как дуги концентрических окружностей. Воображаемый конус касается земного шара в средних широтах, поэтому проекция удобна для картографирования таких стран, как Россия, Канада, США, расположенных в средних широтах. В поперечных и косых конических проекциях ось конуса находится в плоскости экватора или под углом к нему.

Азимутальные проекции. Поверхность земного шара (эллипсоида) переносится на плоскость. Если плоскость перпендикулярна к оси вращения Земли, то получается полярная (нормальная) азимутальная проекция. Параллели в ней — концентрические окружности, а меридианы — радиусы этих окружностей. В такой проекции почти всегда составляют карты Арктики и Антарктики. Если же плоскость проекции перпендикулярна к плоскости экватора, то получается экваториальная (поперечная) азимутальная проекция. Она удобна для карт полушарий. А если проектирование выполнено на вспомогательную плоскость, находящуюся под углом к плоскости экватора, то получается косая азимутальная проекция.

Условные проекции — все остальные проекции, для которых нельзя подобрать простые геометрические аналоги. Их строят, задавая какие-либо условия, например, желательный вид географической сетки, то или иное распределение искажений и др. К условным принадлежат псевдоцилиндрические, псевдоконические, псевдоазимутальные и многие другие проекции.

Многогранные проекции. Эти особые проекции создаются для многолистных карт. Глобус проектируют на многогранник, и каждая грань представляет собой лист карты. Искажения в пределах каждой грани совсем невелики, но за удобство приходится расплачиваться: блок листов карт нельзя соединить по общим рамкам без разрывов.

Конечно, для построения картографических проекций никто не помещает глобус в цилиндр и не надевает на него конус. Это всего лишь геометрические аналоги, позволяющие представить вид проекции. Такие проекции получают аналитически. Компьютер может быстро рассчитать любую проекцию с заданными параметрами, а чертежные автоматы легко вычерчивают сетку меридианов и параллелей. Существуют специальные компьютерные атласы проекций, позволяющие подобрать для любой территории или акватории нужную сетку меридианов и параллелей. Например, океанологи часто хотят иметь единое изображение двух соседних океанов — Атлантического и Северного Ледовитого, которые образуют единую систему (их связывает течение Гольфстрим), поэтому удобнее рассматривать их на одной карте. Для этого возможно подбирать особые условные, так называемые овальные проекции. Таким образом, выбор проекции во многом определяется положением территории на земном шаре. Для России почти всегда берут конические проекции, для Арктики — полярные азимутальные и т. д. Конечно, приходится учитывать еще и содержание карты.

Координаты нужны для того, чтобы определять точное положение точек или объектов, вычислять расстояния и направления, наносить на карты новые объекты. На картах используют две системы координат — географическую и прямоугольную.

Географические координаты — широта и долгота — это угловые величины, определяющие положение любой точки относительно экватора и начального меридиана. Широтой точки называется угол между плоскостью экватора и отвесной линией в данной точке. А долгота — это угол между плоскостью начального меридиана и плоскостью меридиана данной точки. Счет широт идет от экватора (0°) к северу и югу до полюсов (90°), причем соответственно указывают «северную» или «южную» широту («с. ш.» или «ю. ш.»). А за начальный, «нулевой» принят меридиан, проходящий через старейшую астрономическую обсерваторию Гринвич (Великобритания). От него считают долготы в обе стороны — к востоку и западу («в. д.» и «з. д.») от 0 до 180° с добавлением слов «к востоку от Гринвича» или «к западу от Гринвича». Широты и долготы определяют на основе геодезических наблюдений, а на карты наносят только картографическую сетку, состоящую из линий параллелей и меридианов. Параллель — это любая линия, все точки которой имеют одинаковую широту, а меридиан — линия, все точки которой лежат на одной географической долготе.

На топографических картах кроме географической системы координат применяют еще прямоугольные координаты. Они удобны для математических расчетов по картам, для определения расстояний или площадей с помощью привычных значений X и Y, а не градусных величин. За ось X берут осевой меридиан геодезической зоны, а за ось Y — линию экватора. Точке пересечения осевого меридиана и экватора (началу координат) присвоены значения X = 0 км и Y = 500 км (это сделано для того, чтобы избавиться от отрицательных значений Y). На топографические карты линии, параллельные осям X и Y, нанесены через 1 км. Они подписаны у рамок карты и образуют квадратную километровую сетку. Прямоугольные координаты дают в метрах. Если, например, координаты Х0 = 6 081 462,5, a Y0 = 4 308 655,0, то это означает, что точка удалена от экватора на 6081 км и 462,5 м, находится в 4-й зоне (первая цифра означает номер зоны) и имеет координату по Y, равную 308 км и 655 м.