Математическая основа карт: картографическая проекция

Фактически проекция устанавливает соответствие между географическими координатами любой точки (широтой ϕ и долготой λ), т.е. координатами на шаре, и её прямоугольными координатами (X и Y) на листе карты. Таких соответствий может быть сколько угодно, поэтому число возможных проекций крайне велико. Раньше создание карты было делом исключительно трудоёмким, прежде всего потому, что пересчёт координат происходил практически вручную. Поэтому число проекций, которыми располагали картографы, было крайне ограничено. Сейчас компьютерные технологии позволяют рассчитывать любые проекции с заранее заданными свойствами, и в арсенале учёных оказалось значительное число самых разных проекций.

Всё просто. Шар (сфера) — это такое тело, которое в отличие, например, от куба невозможно превратить в плоскую развёртку. Говоря точнее, это невозможно сделать без искажений: при этом неизбежно возникают деформации изображения — сжатия и растяжения, различные по величине и направлению. Так вот назначение проекции — сделать эти искажения минимальными или, по крайней мере, управляемыми.

Виды проекций по характеру искажений. Сделать карту, вовсе лишённую искажений, невозможно. Даже использование самых передовых технологий позволяет лишь ослабить их. Но зато, выбирая ту или иную проекцию, мы можем выбрать такой вид искажений, которые не будут мешать при использовании её по назначению, ведь карты могут применяться в разных целях. Приведём лишь один пример. Навигационные карты необходимы для прокладки курса корабля. Для таких карт прин­ципиально важно, чтобы на них отсутствовали искажения углов, измерять площадь на такой карте почти невозможно.

По характеру искажений проекции делят на четыре группы.

Равновеликие проекции на карте сохраняют площади объектов без искажений. В них сильно нарушены углы и формы, но зато они удобны для измерения площади объектов.

Равноугольные проекции. Название этих проекций говорит само за себя — эти проекции оставляют без искажений углы и формы контуров. Они очень удобны для определения направлений и прокладки маршрутов по азимуту. Но за это приходится расплачиваться значительными искажениями площадей.

Равнопромежуточные проекции. Можно подумать, что речь идёт об отсутствии искажений длин, но это не совсем так. Сохранить истинные длины отрезков по всем направлениям невозможно. Поэтому без искажений остаётся только одно из главных направлений: по меридиану или по параллели.

Произвольные проекции — это проекции, в которых в тех или иных произвольных соотношениях искажаются и площади, и углы (формы). При их построении стремятся достичь некоторого компромисса в распределении искажений для каждого конкретного случая.

Виды проекций по типу вспомогательной поверхности. При построении карт изображение с поверхности шара сначала переносят на поверхность некой промежуточной фигуры, которую потом можно безо всяких искажений развернуть на плоскость. К таким фигурам можно отнести цилиндр, конус.

Тут нужно пояснить, что на самом деле ничего этого не делается: никто не переносит каждую точку изображения с одной поверхности на другую. Вместо этого используют определённую формулу для пересчёта координат, но результат выглядит именно как перенос точек с шара на вспомогательную поверхность.

По виду вспомогательной поверхности различают цилиндрические, конические и азимутальные проекции (рис. 36). Карты в цилиндрической и конической проекциях выполняются следующим образом. Шар вписывается в цилиндр или конус, изображение с его поверхности переносится на поверхность этих фигур, после чего они развёртываются в плоский лист. Задача решена — вместо глобуса получилась плоская карта. Её можно свернуть и положить в карман. Но если с названиями этих двух проекций всё понятно, то с азимутальной проекцией нужно разобраться.

Для азимутальных проекций используют в качестве вспомогательной поверхности касательную или секущую плоскость. При этом если плоскость перпендикулярна к оси вращения Земли, т.е. касается шара в точке полюса, получается полярная (нормальная) азимутальная проекция. Параллели в ней являются концентрическими окружностями, а меридианы — радиусами этих окружностей. В этой проекции делают карты Антарктиды и Северного Ледовитого океана.

Если же плоскость перпендикулярна к плоскости экватора, т.е. соприкасается с любой точкой на экваторе, получается экваториальная (поперечная) азимутальная проекция. Её применяют для карт полушарий. А если проектирование выполнено на вспомогательную плоскость, расположенную под любым углом к плоскости экватора, то получается косая азимутальная проекция.

Карты, построенные в разных картографических проекциях, можно отличать по виду картографической сетки. Например, на карте, выполненной в цилиндрической проекции, меридианы и параллели представляют собой прямые линии, пересекающиеся под прямыми углами. То есть искажения углов на ней отсутствуют. На карте же, выполненной в конической проекции, меридианы представляют собой радиальные отрезки, исходящие из точки полюса, а параллели — концентрические дуги.

В какой картографической проекции построена карта, нужно знать для того, чтобы определить, какие у неё искажения, где они отсутствуют, а где их больше всего. Так, у цилиндрических проекций нет искажений на линии экватора, а чем дальше от него, тем искажения больше. У азимутальных проекций нет искажений в центральной точке карты, а у конических — вдоль параллели касания конуса и шара.